你留意过吗？
在燕园里
找不到一块正五边形的地砖、窗格、墙面
智华楼进门处，黑白灰三色的异形地砖交错铺展，填成一块独特风景；校史馆前的地砖，在阳光下呈现出整齐清晰的几何图形；北阁的木门，图案层层叠砌，仿佛时间在这里一格格垒起……这些用相同形状的图形无空隙、不重叠地铺满平面的方式，被数学家称为“密铺”。
为什么校园里的建筑上随处可见多边形，却唯独没有正五边形？这个问题的答案，就藏在密铺的秘密里。今天，小北要将这个密铺的秘密——“密秘”，告诉你！
智华楼
农园食堂
校史馆
北阁
镜春园禄岛
3月14日是联合国教科文组织确定的国际数学日
“3.14”是最接近圆周率的两位小数
因此，今天又被称作“π Day”
让我们一同开动脑筋
思考这些图案背后
藏着怎样的数学知识吧！
01平面上：什么形状能铺满？密铺，这个听起来有些陌生的词，其实就藏在我们的日常生活中。你脚下的地砖、头顶的天窗、身旁的墙面，那些反复出现的几何图案，都是密铺的杰作。
理科2号楼的井盖
图书馆的窗
理科2号楼
百周年纪念讲堂
对外汉语教育学院
数学家把规则密铺定义为：使用形状、大小相同的平面图形无空隙、不重叠地铺满平面。听起来简单，但要做到这一点，图形必须满足一个苛刻的条件：围绕任何一个公共顶点的几个图形的内角之和，必须精确等于360°。
正三角形、正方形、正六边形之所以随处可见，正是因为它们完美地满足了这个条件：正方形内角90°，四个拼在一起；正三角形内角60°，六个拼在一起；正六边形内角120°，三个拼在一起。
为什么校园里找不到正五边形的地砖或窗格？答案就藏在它108°的内角里。三个正五边形拼起来，角度和是324°，留下了36°的空隙；四个拼在一起，又变成了432°，超出了360°——无论如何都无法恰好闭合。正五边形就这样被排除在平面密铺的家族之外。
但数学家们的好奇心远不止于“能不能铺满”。他们还想知道：如果铺不满，那怎样才能铺得最满？这就把我们引向了另一个经典问题——圆的最密排列。
如果你在平面上尽可能紧密地排列等大的圆，最有效的方式是让每个圆都与六个相邻的圆相切，形成六角密堆积。在这种排列下，圆占据了绝大部分面积，留下的空隙被压缩到最小。计算一下圆的面积与它们所围成菱形面积的比值，你会得到一个与π有关的数字：
这意味着，即使是最紧密的排列，圆也只能覆盖约90.69%的平面，剩下的则是不可避免的缝隙。这是平面上圆的最密排列的极限，也是数学家阿克塞尔·图在1910年试图证明的结论。不过，后世数学史研究表明，图的证明存在逻辑不够严谨之处。直到1940年，匈牙利数学家拉斯洛·费耶斯·托特才给出了第一个被广泛接受的严格证明。
从平面到空间，问题变得更加复杂：如何用等大的球堆叠出最密的排列？这正是困扰数学家四百年的开普勒猜想。1611年，开普勒提出，最密的堆叠方式有两种——面心立方堆积和六方密堆积。它们的密度相等，都可以用公式表示为：
也就是说，即使是最理想的排列，球体也只能占据约74%的空间，剩下的26%是无论如何也无法填满的空隙。这个猜想直到1998年才由数学家黑尔斯借助计算机证明成立，成为数学史上最漫长的探索之一。
在这两个公式中，π悄然登场。它不仅是圆的周长与直径之比，也是我们丈量“铺得有多满”时无法绕开的常数。无论是在平面上排列圆，还是在空间中堆叠球，π都静静地藏在每一个比值背后，见证着数学家们对“最满”的不懈追求。
02球面镶嵌：弯曲空间中的新规则当我们从平面的无限延伸转向球面的有限闭合，一个奇妙的现象发生了：那个在平面上被拒之门外的正五边形，竟然在球面上找到了自己的位置。
让我们回到那个让正五边形败下阵来的条件：在平面上，围绕一个点的角度和必须等于360°。但在球面上，规则变了——因为球面是弯曲的。为了形成一个封闭的球体，围绕一个点的角度和必须小于360°，剩下的那部分角度，数学家称之为“角亏”。正是这看似缺失的角度，让原本无法铺平的图形得以弯曲、闭合，最终包裹成一个完整的球。
正五边形终于等来了它的高光时刻。
三个正五边形在球面上拼在一起，角度和为324°，比360°少了36°——正是这36°的角亏，让平面材料得以弯折，最终闭合。猜猜看需要多少个正五边形才能拼成一个完整的球面？答案是12个。这12个正五边形，恰好构成了一个完美的球面多面体：正十二面体。
这个正十二面体有20个顶点，每个顶点都有36°的角亏。把所有顶点的角亏加起来：20 × 36° = 720°。如果用弧度表示，720°就是4π弧度——π在这里第一次正式登场。
更重要的是，正十二面体的所有12个顶点都落在一个共同的球面上。既然是球，就绕不开π：球的表面积是4πr²，体积是4/3πr³。球面上的每一块区域，它的面积、曲率，都和π息息相关。换句话说，那些在平面上被拒之门外的正五边形，一旦登上球面，就成了构建球体的完美拼图。
从平面到球面，正五边形的命运彻底反转。平面上无法密铺的遗憾，在球面上化作闭合的圆满。而π，则始终在场，默默计量着每一次弯曲、每一寸表面、每一分容积。
03从正十二面体到足球正五边形在球面上成功闭合，最经典的例证莫过于正十二面体。但还有一个你可能更熟悉的球面物体，同样离不开五边形：足球。
标准的足球并不是由正五边形单独构成，而是以半规则密铺的方式，由12个正五边形和20个正六边形共同组成的截角二十面体。
这个形状是怎么来的？从正二十面体（20个三角形）上切去每个顶点，三角形变成了六边形，顶点处露出五边形，于是就有了我们如今使用的黑白相间的足球。
这种结构在数学上属于半正多面体，在13种阿基米德立体中，它是最接近球体的一种。正因如此，1970年墨西哥世界杯首次采用这种32面球体，从此成为足球的经典符号。
今年夏天，2026年世界杯又将拉开帷幕。当我们在屏幕前为一次次进球欢呼时，不妨想想：那在空中划出弧线的足球，其实是一个几何奇迹——它用五边形和六边形，在球面上实现了完美的密铺。而π，则是那个隐藏在背后的度量衡。
数学之美，不仅在于理论，也在于游戏实践。
3月12日，在北大附中第三届数学文化节上，便设有一处“密铺幻境”，请同学们化身为“密铺设计师”，利用现场提供的风筝与飞镖形状贴片，自由组合、拼接，与伙伴们共同完成一幅大型彭罗斯镶嵌作品。
恰值第七个国际数学日
也是北京大学数学科学学院师生
举办活动庆祝π Day的第17年
欢迎大家前往智华楼西侧广场
共同欢度数学的海洋
完成文末预热谜题
可在现场领取纪念明信片一张！
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在π day这天，小北准备了一道特别的数独题——它不仅有常规的行、列、宫约束，还加入了五个“π”形区域。每个π形区域内的9个格子也必须包含1～9各一次。
解出这道题
或许你就能感受到π那种无处不在的秩序感
欢迎聪明的你，在评论区晒出答案！
在π的节日里
小北祝愿你对数学的热爱
如π的小数般无限延续
策划 | 北京大学融媒体中心、北京大学数学科学学院
文字&编辑 | 卢天泽、束韵哲、徐周雨宣、应硕丞、张嘉珂
制图 | 应硕丞、张嘉珂
图片 | 黄喆、吉佩雯、肖康明、李昊楠、视觉中国
排版 | 岳羽辰
责编 | 陈蕾
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